BioEZ 的“生物化学与食品化学”主章快更新到酶了，在正式进入酶的章节之前，笔者想提供给大家一个酶促反应动力学中非常重要的米氏方程推导的可选 DLC。

这一块的内容难度偏高，不要求大家掌握，但如果想要深入地理解米氏常数的意义以及米氏方程的应用前提，知道这个方程是如何推导的其实大有裨益，因此，笔者会以一个最详细最好理解的角度带领大家走完一遍推导流程，全程零跳步，希望能对大家有所帮助 ~

研究生命，不得不品的一环就是研究酶。几乎没有生命活动可以离开酶促反应，相比于无机催化剂，酶的效率是那么高，又可以在很温和的条件下催化反应的发生，其本身的蛋白质结构又是那么精巧。

在以前，我们对酶的学习可能更偏向于了解酶促反应的底物和产物，比如学习唾液淀粉酶可以将淀粉水解产生麦芽糖，而在这一节中，我们将会一起学会如何计算酶促反应的速率。

1. 酶是如何催化反应的

有关酶是如何这么高效地催化反应，科学家前后提出了不同的假说，比如米氏方程的基础：中间复合物学说

1.1 中间复合物学说

这个学说认为，酶（Enzyme）在催化反应时，并不是直接一步将底物（Substrate）转化为产物（P），而是先与底物结合，形成一个不稳定的、可逆的中间复合物（ES），然后这个复合物再分解，释放出产物和游离的酶。

也即：

$E + S \rightleftharpoons ES \rightleftharpoons E + P$

形成中间复合物 ES 的过程大大降低了反应活化能，因此加快了反应的进行

我们可以以锁钥模型来理解

锁钥模型

• 酶像一把锁

• 底物像一把特制的钥匙

• 只有形状完美匹配的钥匙（底物）才能插入锁（酶的活性中心）中，形成复合物（ES），从而打开锁（发生反应）。

然后，基于中间复合物学说提出的锁钥模型是一个静态、刚性的模型，它无法解释：

• 为什么酶可以催化可逆反应

• 酶如何表现出对多种结构类似底物的活性

由此，一个新的学说被提出，以此来弥补中间复合物学说的不足：诱导契合学说

1.2 诱导契合学说

这个学说主要观点是：

1. 酶的活性中心结构并不是与底物预先完全互补、刚性匹配

2. 当底物与酶接近并结合时，会诱导酶的活性中心构象发生可逆的变化，使其形成与底物过渡态互补的、更紧密契合的结构

3. 这种相互的诱导适应，使催化基团精确排列，从而发挥催化作用。

这个学说非常好，解决了许多中间复合物学说无法解释的问题，比如：

1. 非常好地解释了酶的不同专一性 （详见未来会更新的 [[BC 5-1 酶概述 #2.2 酶促反应特点]] ）：一个酶可以催化一组结构相似的底物，因为酶的构象可以被不同的底物“诱导”成大致匹配的形状。

2. 解释了催化可逆反应：酶通过与反应物和产物的过渡态互补来催化双向反应。

3. 解释了变构调节：效应物分子在别构中心结合，通过诱导酶整体构象变化来调节其活性。

现代的 X 射线晶体学和核磁共振等技术已经直接观测到了酶与底物、抑制剂结合前后的构象变化，也为诱导契合学说提供了确凿证据。

2. 米氏方程的假设

米氏方程是一个基于中间复合物模型的，量化酶促反应速率的方程，非常实用，也许我们以后会聊到的药物代谢动力学中也经常会用到。大概长这个样子：

$V = \frac{V_{max} \cdot [S]}{K_m+[S]}$

其中：

• V：反应速率

• V_max：最大反应速率

• [S] ：底物浓度

也许你会觉得觉得一头雾水，不知道上面这一串东西是什么玩意儿，不用急，我们一步步来看。

首先，在推导上面的公式之前，我们得做一些前提假设：

1. 在这个酶促反应时，相比于酶的浓度，底物过量：也即 [S] >> [E]

2. 反应初期，产物浓度 [P] 很小，因此可以忽略从产物 P 到酶底物复合物 ES 的逆反应

3. 稳态假设：随着反应的进行，酶底物复合物 ES 的形成速度降低，而分解速度加快，最终会达到一个稳态，在这个稳态中，酶底物复合物 ES 形成速度等于其分解速度，ES 浓度恒定不变。

在以上假设的前提下，我们就可以愉快地着手推导米氏方程了

3. 米氏方程的推导

回顾中间复合物学说，有以下反应过程：

其中：

• E：Enzyme，酶

• S：Substrate，底物

• ES：酶底物复合物（中间复合物）

• P：Product，产物

• k：反应速率

以防你忘记下面的反应速率是怎么计算的，在此提醒一下，酶促反应属于一级反应，也即反应速度只与反应物浓度成正比的反应

3.1 稳态方程

稳态时：

• 因为产物 P 的浓度非常小，因此其分解得 ES 的逆反应忽略不计，即 K_-2 = 0

• ES 的生成速率 = ES 的分解速率，【ES】不变，有：

  • ES 的生成速率 = K₁[E][S]

  • ES 的分解速率 = K₂[ES] + K_-1[ES] = (K₂ + K_-1)[ES]

由生成速率 = 分解速率联立以上两式：

$K_1[E][S] = (K_2 + K_{-1})[ES]$

稍微变形得：

$\frac{[E][S]}{[ES]} = \frac{K_2 + K_{-1}}{k_1}$

在上面的推导中，你可能会有这样一个困惑：为啥可以在稳态时用反应初期的假设呢？是这个可以忽略产物 P 分解的逆反应的 “反应初期” 先结束，还是反应稳态先形成？

如果你有这个困惑，笔者会非常欣赏你，这是一个非常好非常好、切中肯綮的问题！
在这里给你一个确定答案：稳态先形成。因此，有关反应初期忽略逆反应的假设在稳态中仍然可以使用。

因为，在绝大多数酶实验中：

• 酶底物复合物 ES 会在毫秒数量级内到达稳态

• 产物 P 的明显累积需要秒到分钟数量级

二者的时间尺度差异极大。

此外值得一提的是，米氏方程实际上描述的是在反应初期，底物浓度与反应速率（也即初速度）的关系，并不讨论反应时间与反应速率的关系

3.2 米氏常数 Km 的定义

由于处于稳态中，显然 K₂、 K_-1 、 K₁ 都是常数，因此，不妨将这个整体也视为一个常数 K_m 参与后续计算，即令：

$\frac{[E][S]}{[ES]} = \frac{K_2 + K_{-1}}{k_1} = k_m$

这里我们定义的 K_m 就是我们最终公式中的米氏常数。后面我们也会以一个更直观的方式来理解 K_m 的特别意义。

对这个式子，我们单独把酶浓度【S】提出来，后面要用：

$[E] = \frac{[ES]k_m}{[S]}$

3.3 酶和酶底物复合物浓度的消元

由于酶 E 和酶底物复合物 ES 的浓度不好确定，我们更希望以更好控制的底物浓度 S来计算反应速率，因此，要想点办法把最后公式中的酶浓度【E】和酶底物复合物浓度【ES】这两项给消去。

我们不妨设整个反应体系酶的量，也即 反应的 0 时刻 (t = 0) 酶的浓度为 E₀
显然，会有：

$[E_0] = [E] + [ES]$

我们先前已经推导过酶浓度【E】的公式为：

$[E] = \frac{[ES]k_m}{[S]}$

这里直接代入即可得：

$[E_0] = \frac{[ES]k_m}{[S]} + [ES]$

如果你看到了这里，那么要恭喜你：米氏方程推导最难理解的部分已经过去，剩下的都是水到渠成了。

准备工作都完成，下面我们来引出酶促反应速率的计算。

3.4 酶促反应速率

我们以生成物的生成速率来表示反应速率 V，也即有：

$V = k_2[ES]$

注意：这里的 V 实际上仍然讨论的是反应初期的反应速率，你甚至可以在某种程度上把它理解为初速率

当反应速率达到最大时（V_max），所有的酶 E 都参与了催化，形成了酶底物复合物 ES，也即：

$当反应速率达到 V_{max} 时，[ES] = [E_0]$

因此：

$V_{max} = k_2[E_0]$

我们将反应速率 V 与最大 Vmax 相比，可以消去 K₂ 这一项：

$\frac{V}{V_{max}} = \frac{k_2[ES]}{k_2[E_0]} = \frac{[ES]}{[E_0]}$

在 “3.3 酶和酶底物复合物浓度的消元 ”中，我们已经推出了 E₀ 的关系式为：

$[E_0] = \frac{[ES]k_m}{[S]} + [ES]$

直接将其代入我们刚刚推出的 V/Vmax 比值公式，可得：

$\frac{V}{V_{max}} = \frac{[ES]}{[E_0]} = \frac{[ES]}{\frac{[ES]k_m}{[S]} + [ES]}$

化简得：

$\frac{V}{V_{max}} = \frac{[ES]}{\frac{[ES]k_m}{[S]} + [ES]} = \frac{[S]}{k_m + [S]}$

那么，反应速率 V 的关系式就是：

$V = \frac{V_{max} \cdot [S]}{K_m+[S]}$

这就是我们熟悉的米氏方程了。

最后还得强调一下：

• 米氏方程是有前提的，在使用时，一定要思考一下能不能满足米氏方程的假设条件。

• 米氏方程中的 V 是反应初期的反应速率，不可以直接套用进反应中途的计算中，或者你可以先简单理解为这里的 V 指的是初速度。

那么，花了这么大工夫推导出来的方程有啥用呢？这个莫名其妙的米氏常数 K_m 到底有什么意义呢？

有关米氏方程的作用与理解，后续的生物化学与食品化学相关章节中会更新。

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